重心で釣り合うことの証明

三角形の重心は、均一な紙で三角形を作ってそこで支えると釣り合うことが知られている。だから重心というのだが、平面幾何学では、三角形の中線(頂点とその対辺の中点を結んだ直線)は一点で交わる、という定義を用いている。

重心をこの定義としたとき、重心でこの三角形が釣り合うことはどう証明するのか、というのをちょっとググってみたが、まだ証明が見つからない。真面目に探していないからか。

まず、三角形は中線で釣り合う、ということを証明すればいいはずなのだが、これも見つからない。

三角形を中線で分けた2つの三角形にすると、この面積が等しいことはすぐに分かる。この2つの三角形を、中線を底辺と考えたとき、高さは同じになる。あとはチャチャっと積分してやればいいはずなのだが。