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すべての硬貨が表になる確率

これで最後の問題。九州大学ですよ。今までが伏線だとすれば、どんな問題が出ると思いますか。個人的には、LRLR…のように試行を繰り返したときの表の枚数の極限を求めるようなのが来てもいいのではないかと思ったのだが(どうやって解くんだろ?)、実際の問題はこれ。

最初の状態からL,R,Lの順に操作を行うとき、すべての硬貨が表となる確率を求めよ。

まあいいでしょ。 とりあえず、216通り書いてみて…

ってそれはいくら何でもちょっと多いような気がする。 不可能ではないが、芸も無いので面白くない。 そこで、Lという操作の特徴に注目する。

左から連続したいくつかの硬貨を裏返した結果が全部表になるためには、左から何枚か連続して裏、残りが表、という状態でなければならない。 つまり、次のような状態でないと、残り1回のLの操作で全部表にすることはできない。

●○○○○○
●●○○○○
●●●○○○
●●●●○○
●●●●●○
●●●●●●

この6通りと同じパターンは、(2) の中にはこれだけある。

●●●●●● 15
●●●●●○ 16
●●●●●● 24
●●●●○○ 26
●●●●●● 33
●●●○○○ 36
●●●●●● 42
●●○○○○ 46
●●●●●● 51
●○○○○○ 56

それぞれの場合に対して、次に全部表にするようなLは1通りずつしかないから、結局、36×6通りの結果に対して、全て表になるのは次の10通りだけ。

○○○○○○ 615
○○○○○○ 516
○○○○○○ 624
○○○○○○ 426
○○○○○○ 633
○○○○○○ 336
○○○○○○ 642
○○○○○○ 246
○○○○○○ 651
○○○○○○ 156

従って答は 10/216 = 5/108 となる。 何か数字に規則性があるようだが、気にしない。

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