« 重要ではないか | トップページ | 表の枚数の期待値 »

表が1枚となる確率

前回の問題はスゴイ落とし穴にはまってしまったのでリベンジということで、今度は九州大学の問題だそうである。質問した人は考えたけど分からないと言ってるのだが、何を考えたのか分からない。

横一列に並んだ6枚の硬貨に対して、以下の操作Lと操作Rを考える。
L: さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ、左端から順に硬貨の表と裏を反転する。

本当に入試でこの文章だったのだろうか。「表と裏を反転する」なんて微妙に難しい表現で、真面目に考えたら意味不明だ。「裏返す」だけでいいと思うのだが。まあそれはそうとして、

R: さいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ、右端から順に硬貨の表と裏を反転する。
たとえば、表表裏表裏表と並んだ状態で操作Lを行うときに、3の目が出た場合は、裏裏表表裏裏となる。

この例があるから、まあ誤解はないということで。

以下、「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする。
(1) 最初の状態から操作Lを2回続けて行うとき、表が1枚となる確率を求めよ。

しょうもない問題だけど、もちろんこの後に(2)、(3)とあるんですよ。 実はそれが驚いたことに似た難易度だというのはおいといて、 サイコロを2回投げるのは、6×6で36通りしかない。 3回でもたかだか216通り…ってちょっと多いかも。

この程度なら、私はまず全部どうなるのか書いて、該当するのを数える。 小学生でもできそうな解法だ。確率という言葉が分からないから小学生には解けないか。

とにかく、まず実際に書いてみた。初期状態は、全部表だから、

表表表表表表

こんな感じだな。これが、Lを1回行ったらこうなる。

裏表表表表表
裏裏表表表表
裏裏裏表表表
裏裏裏裏表表
裏裏裏裏裏表
裏裏裏裏裏裏

このあたりで気付いてもよかったなと思うが、次にもう一度Lを行うと、 最初に1の目が出ていた場合はこうなるはず。

表表表表表表
表裏表表表表
表裏裏表表表
表裏裏裏表表
表裏裏裏裏表
表裏裏裏裏裏

まてまて、死ぬほど見辛ぇ。 まるで拷問のようだ。 問題文に例が出ていたからうっかりその通りに書いてしまったが、それが落とし穴なのか。

○○○○○○

この方がいいや。表は○、裏は●とする。1回目。

●○○○○○
●●○○○○
●●●○○○
●●●●○○
●●●●●○
●●●●●●

いけそうだぜ。2回目。

○○○○○○ 11
○●○○○○ 12
○●●○○○ 13
○●●●○○ 14
○●●●●○ 15
○●●●●● 16
○●○○○○ 21
○○○○○○ 22
○○●○○○ 23
○○●●○○ 24
○○●●●○ 25
○○●●●● 26
○●●○○○ 31
○○●○○○ 32
○○○○○○ 33
○○○●○○ 34
○○○●●○ 35
○○○●●● 36
○●●●○○ 41
○○●●○○ 42
○○○●○○ 43
○○○○○○ 44
○○○○●○ 45
○○○○●● 46
○●●●●○ 51
○○●●●○ 52
○○○●●○ 53
○○○○●○ 54
○○○○○○ 55
○○○○○● 56
○●●●●● 61
○○●●●● 62
○○○●●● 63
○○○○●● 64
○○○○○● 65
○○○○○○ 66

数字が何なのか書かなくても分かると思うので説明しない。

書いていたら気付いたのだが、Lによって左端の1枚は必ず反転するのだから、2回続けたら必ず表になる。 ということは、表が1枚になるのは、左端の1枚だけが反転した状態しか有り得ない。 ということは、残りの5個が1度目で全部反転するか、2度目で全部反転するか、どちらかしかない…のだが、 なぜかをきっちり説明するのはちょっと簡単ではない。

結局、この36通りの図を書いて、16と61だけが該当するから 2/36 = 1/18 というような解答の方が楽っぽい。

|

« 重要ではないか | トップページ | 表の枚数の期待値 »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)


コメントは記事投稿者が公開するまで表示されません。



トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.cocolog-nifty.com/t/trackback/3035/59001357

この記事へのトラックバック一覧です: 表が1枚となる確率:

« 重要ではないか | トップページ | 表の枚数の期待値 »