0.9999… = 1 ではない理由

元ネタは「0.999…=1というんなら、テストで答えが1のところを0.999…と書いても正解ですか？ ... - Yahoo!知恵袋」。この質問に、1=0.9999…というのが間違っているという回答を書いたので、それについて考えてみる。

質問を要約すると、1を0.9999…と書いてもいいか、という話。

ベストアンサーは、0.9999…と1を表現方法は異なるが等しいことを、次のようにして証明している。

0.9999… = x

の両辺を10倍すると、

9.9999… = 10x

両辺を引けば、

9 = 9x

∴ x = 1

この証明は、私も子供の頃に何かの本で見た。こうやって証明するのかと納得したものだ。実際、他の人に聞かれたらこの方法で説明するか、もう一つは単純に引き算して、

1 - 0.9999… = 0.0000… = 0

だから同じでしょ、という説明。これも同じ本に書いてあったような気がする。

ただし、これを証明するときに、「…」のところには無限に「9」という数字が続くという前提が書いてあったと思う。今回は、その前提がどこにもない。0.9999… というのが、

0.99998765… かもしれないし、

0.99990909… かもしれない。

この証明が成立するためには、「0.9999…」の「…」の部分が全て9でかつ無限に続かなければならない。そのような前提が勝手に使われているのは証明としておかしいと思うのだが、はて?

では、「…」は数学ではどのように定義して使っているのだろうか?

例えば円周率を 3.141592… と表現することがよくある。このときの「…」は、「…」に円周率を十進表記したときに来るべき数字が続くと解釈すべきである。だから、少なくとも「…」は単純に「同じ数字が続く」という意味ではないだろう。

ベストアンサーには、この表現を「無限級数の形の表現方法」と説明している。確かに、無限級数の場合、

n0 + n1 + n2 + …

のような書き方をする。では、この場合の「…」の意味は?　数学的にどういう定義なのだっけ?　ある規則で続く、みたいな?