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1から100までの数の中に

2でも3でも5でも割り切れない数がいくつあるかという話。知恵袋の大学入試カテゴリで質問が出ていて、それって大学入試レベル、と思いきや、ベストアンサーが間違っているから凄い難問なのかもしれない。

それで、とある所に書いたのは、まず偶数と1の桁が5の数字を省略して1から100まで書いて、3の倍数を消して数えたらいい、という方法。

実際やってみたのだが、もしかすると素直に1から100まで書いた方が速いような気がしてきた。というのは、その方が3の倍数をチェックするのが簡単になるからである。

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2, 3, 5 の最小公倍数が 30 なので、1 から 30 までを書いて、2, 3, 5 の倍数を消します。

01 (02)(03)(04)(05)(06) 07 (08)(09)(10)
11 (12) 13 (14)(15)(16) 17 (18) 19 (20)
(21)(22) 23 (24)(25)(26)(27)(28) 29 (30)

カッコが消した印の代わりです。この中に残った数が 8 つあり、31 から 60 まで、61 から 90 まではこのくり返しなので三倍して 24 個。91 から 100 までは、この表の一行目を見て 91 と 97 とわかりますから、この二つを足して 26 個であってるかな?

ついでながら、91 は、二ケタの数の中ではうっかり素数と思われやすい数です。(実際には 91 = 7 * 13。)

実は、全部書いても、大した量ではありません。(上をコピーし、エディタの機能で置換して作りました。)

01 (02)(03)(04)(05)(06) 07 (08)(09)(10)
11 (12) 13 (14)(15)(16) 17 (18) 19 (20)
(21)(22) 23 (24)(25)(26)(27)(28) 29 (30)
31 (32)(33)(34)(35)(36) 37 (38)(39)(40)
41 (42) 43 (44)(45)(46) 47 (48) 49 (50)
(51)(52) 53 (54)(55)(56)(57)(58) 59 (60)
61 (62)(63)(64)(65)(66) 67 (68)(69)(70)
71 (72) 73 (74)(75)(76) 77 (78) 79 (80)
(84)(82) 83 (84)(85)(86)(87)(88) 89 (90)
91 (92)(93)(94)(95)(96) 97 (98)(99)(100)

2 の倍数、5 の倍数は縦に並びますから一気に消せます。3 の倍数は左下がりの斜めですね。手書きの際の手間を減らすなら、2 の倍数、5 の倍数のところは「・」でも打っておけばよいでしょう。どうせ消えますから。

投稿: すのもの | 2011.06.09 20:55

先日、高等学校の数学Iの教科書(少し前のもの)を見ていたところ、「1から100までの数の中に3でも5でも割り切れない数はいくつあるか」のような問題がありました。3で割り切れる数が33個、5で割り切れる数が20 個、3でも5でも割り切れる数は15で割り切れる数だから6個、よって3か5で割り切れる数は33+20-6個、これを100から引いて答えを得ます。

「2でも3でも5でも」でこれをやるのは、めんどうですね。全部書いたほうが速いでしょう。

投稿: すのもの | 2011.07.01 17:43

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