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連続する3つの整数の積は6の倍数になることを証明せよ

Yahoo!知恵袋に回答を書こうとしたら間に合わずに締め切られてしまったので、解答をこの後に書いておく。

この問題は、http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1224576927 に出ているのだが、 ベストアンサーがどうして選ばれたのか分からない。 ベストアンサーは連続した3つの数字の中に3の倍数があることを証明していないからだ。 もしそれが証明なしで使える事実なら、 連続した3つの数字の中に2の倍数があることも証明する必要はないと思う。 つまり、他の解答の方が簡潔で分かりやすいと思うのだ。

証明

任意の整数は、nを整数としたとき、6n、6n+1、6n+2、6n+3、6n+4、6n+5 のいずれかで表現できる。

6n(6n+1)(6n+2) は 6で割り切れる

(6n+1)(6n+2)(6n+3) = 6(6n+1)(3n+1)(2n+1) は6で割り切れる

(6n+2)(6n+3)(6n+4) = 6(3n+1)(2n+1)(6n+4) は6で割り切れる

(6n+3)(6n+4)(6n+5) = 6(2n+1)(3n+2)(6n+5) は6で割り切れる

(6n+4)(6n+5)(6n+6) = 6(6n+4)(6n+5)(n+1) は6で割り切れる

(6n+5)(6n+6)(6n+7) = 6(6n+5)(n+1)(6n+7) は6で割り切れる

従って連続する3つの整数の積は常に6で割り切れる、すなわち6の倍数である。

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コメント

証明としては正しいですが、その方法だと「連続する4つの整数の積は常に24で割り切れる」とか「連続する5つの整数の積は常に120で割り切れる」と、連続する整数が増えると証明に要する行数がO(n!)で爆発的に増えて行くので美しくないような気がします。
やはり「2の倍数を含む」と「3の倍数を含む」を別々に証明した方が良いのではないでしょうか。

投稿: <セルダン> | 2009.03.27 18:53

あの回答だと、2 と 3 とが互いに素であること(あるいは 2 と 3 の最小公倍数が 6 であること)も指摘する必要があります。

ある数が 6 と 10 で割り切れたからといって、6 * 10 = 60 で割り切れるとは限りません。(30 が反例。)

投稿: すのもの | 2009.03.29 19:26

Phinloda さんの証明は、6つに分けるのでやや数が多いものの、そのあとは単純な計算で済むのでうまいな、と思っていたのですが、<セルダン>さんのおっしゃることももっともです。

ところで、nCr = n(n-1)...(n-r+1)/r! は整数だから、という証明はいかがでしょうか。

投稿: すのもの | 2009.03.30 17:15

>すのものさん
この問題では互いに素である必要も、最小公倍数が6である必要も無いのでは?

私が↑で書いた「連続する4つの整数の積は常に24で割り切れる」という問題であれば、4つの連続する整数には
・4の倍数
・3の倍数
・4の倍数ではない2の倍数
が必ず含まれるので(証明省略)24で割り切れますが、4の倍数と4の倍数ではない2の倍数は互いに素ではありません(どちらも2で割れる)し、最小公倍数は12であって24ではありません。

2と3が互いに素、あるいは最小公倍数が6というのは十分条件であって必要条件ではありません。
ですから、
・2の倍数と3の倍数が同一の数字の場合は2×3×Nと表せるので6で割り切れる
・2の倍数と3の倍数が別の数字の場合は2×Nと3×Mと表せるので(2×N)×(3×M)=6×N×Mとなり6で割り切れる
という2点を言っておけば、互いに素、あるいは最小公倍数が6を示す必要はありません。

まぁ「偶然にも」2と3は互いに素であり最小公倍数が6ですから、そちらで示した方が楽ですが(^^;、それを示す「必要がある」というのは違うんじゃないかと・・・

投稿: <セルダン> | 2009.03.30 20:29

ご指摘ありがとうございます。その通りですね。

投稿: すのもの | 2009.04.01 01:35

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